서로소 집합

서로소 집합

서로소 집합이란 공통 원소가 없는 두 집합을 의미한다.

서로소 집합 자료구조는 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조라고 할 수 있다.

 

서로소 집합 자료구조는 union과 find 이 2개의 연산으로 조작할 수 있다.

그래서 이를 union-find 자료구조라고도 한다.

 

union: 2개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산이다.

find: 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산이다.

 

서로소 집합 자료구조는 구현할 때 트리 자료구조를 이용하여 집합을 표현한다.

서로소 집합 계산 알고리즘은 다음과 같다.

 

1. union(합집합) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다.

    -I. A와 B의 루트 노드 A', B'를 각각 찾는다.

    -II. A'를 B'의 부모 노드로 설정한다.(B'가 A'를 가리키도록 한다.)

2. 모든 union(합집합) 연산을 처리할 때 까지 1번 과정을 반복한다.

 

-서로소 집합 알고리즘 소스코드

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(find_parent(parent, i), end=' ')

print()

# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
    print(parent[i], end=' ')

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사이클 판별

서로소 집합은 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다.

알고리즘은 다음과 같다.

 

1. 각 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.

    I. 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 union 연산을 수행한다.

    II. 루트 노드가 서로 같다면 사이클(Cycle)이 발생한 것이다.

2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복한다.

 

-> 그래프에 포함되어 있는 간선의 개수가 e개일 때 모든 간선을 하나씩 확인하며, 매 간선에 대하여 union 및 find 함수를 호출하는 방식으로 동작하는 것이다.

 

-사이클 판별 소스코드

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
    parent[i] = i

cycle = False # 사이클 발생 여부

for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    # 사이클이 발생한 경우 종료
    if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
        cycle = True
        break
    # 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(Union) 연산 수행
    else:
        union_parent(parent, a, b)

if cycle:
    print("사이클이 발생했습니다.")
else:
    print("사이클이 발생하지 않았습니다.")

 

출처 : 『이것이 코딩테스트다 with 파이썬』, 나동빈 지음